Az első cikkben azt a matematikai törvényt jártuk körbe, hogy azon események elemzése során, amelyek lehetséges kimenetelei és azok valószínűsége véletlen tényezőktől is függnek, ha kellően nagyszámú megfigyelést/kísérletet nézünk, akkor a vizsgált eredmények átlaga jó közelítéssel a várható értéket fogja eredményezni.

MPeter71 vetette fel, de biztosan többekben felmerült, hogy a WoT túlságosan összetett ahhoz, hogy ezt a törvényszerűséget alkalmazzuk. A nagyszámok törvényének tudományos követelménye azonban pusztán annyit követel meg, hogy ha egy eseménysor kimenete több, különböző (akár véletlen) változónak is függvénye, akkor annál nagyobb minta (kísérletszám) szükséges a várható érték közelítő meghatározásához. Amit itt nagyon fontos megérteni: a várható értéket (eredményt) kapjuk, nem pedig a biztos kimenetelt! Ez nem a szent grál, sem pedig a bölcsek köve. Bár matematikus vénával megáldottak számára felér azokkal... :)

Erre a cikkben utaltam is a fej vagy írás játéknál. Amikor az iskolások ismerkednek a valószínűség-számítással, akkor a tanár arra kéri őket, hogy vegyenek elő egy 10 forintos érmét, százszor dobják fel, és jegyezzék fel az eredményeket. Lesz olyan gyerek, akinél 60 fej és 40 írás lesz (vagy fordítva) lesz nagyon sok gyerek, akinél 53-47, 52-48, 51-49 eredmény fog születni (vagy vica versa), és lesz néhány gyerek, akik 50-50 fej és írás eredményt jegyeznek fel. A tanár ezután begyűjti az eredményeket, és már akár 30-40 fős csoportnál az összesített eredmények azt fogják mutatni, hogy a teljes populáció átlagában szépen beáll (legalább is közelít) az átlag az egyébként matematikai úton egyszerűen meghatározható, minden kísérlet elvégzése nélkül várható 50 százalékra. Függetlenül attól, hogy a valóságban valamennyi esélye akár annak is van, hogy az érme megáll az élén... :)

Mi ennek a folyománya, egy kis előre kacsintással a pechszériákra nézve?

Ha nem csak dobálgatjuk passzióból a 10 forintosokat, hanem fogadunk, mondjuk következetesen mindig a fejre, semmi sem véd meg minket, hogy veszítsünk a pénzükből (szélsőséges esetben, ha csak kisszámú véges fogadásra van pénzünk, akkor akár minden pénzünket elveszítsük), mert a várható érték a fenti esetben semmi többet nem mond, mint hogy:

1. minden egyes egyedi dobás során annak az esélye, hogy a fej legyen az eredmény: 50% (és a következő dobás független esemény, tehát minden további dobás esetén is ennyi az esélye),
2. a nagyszámok törvénye csak azt garantálja, hogy a tetszőlegesen sok dobás esetén a fej dobások százalékos megoszlása közelít az 50%-hoz.

Mivel a fej vagy írás játék egyszerű, mint egy fehér lap, és még itt is megszorításokat kell tegyünk, akkor ez most azt jelenti, hogy a nagy számok törvényét el kellene vetnünk egy olyan bonyolult játéknál, mint a WoT? A válasz: nem. A törvény pontosan azt mondja ki, hogyha a minta kellően nagy, akkor az átlag minden esetben alkalmas a várható érték közelítésére az esemény (és a véletlen tényezők) összetettségétől és számától függetlenül.

Teljesen mindegy, hogy valakit 10 meccsből kettőben mindig -25% RNG hatás sújt, vagy 10 meccsből hétben mindig a tápláléklánc aljára kerül, vagy tíz meccsből nyolcban minden csapattársa 49% alatti játékos, sőt még az is mindegy, hogy ezek a hatások irányítottan, a játék mechanizmusába beépítetten jelentkeznek-e, vagy valóban véletlenszerűen, mert kellően nagyszámú csata elegendő mintát biztosít ahhoz, hogy az eredményeinek az átlagát az ő személyre szabott várható értékének tekintsük.

Lehet valaki időnként részegen játszik, lehet, hogy időnként felkel a gyerek, fontos telefont kap. Ez befolyásolhatja 1, 5, 10, n mérkőzés kimenetelét egyedileg, de ha valaki nem megy elvonóra vagy lesz megrögzött absztinens időközben, vagy megfordítva nem duplázza a napi adagot, vagy nem válik el és hagyja maga mögött a „zavaró tényezőt” jelentő családját, vagy nem vágja ki a telefonját a szemetesbe, akkor ezen események jelentkezése és gyakorisága ugyanúgy beépül az átlagába, mint minden más. Lehet, hogy neked rossz az interneted, és lehet, hogy leszakadsz napjában háromszor, de ha ez egyedi eset, akkor ezek hatása összességében elenyésző lesz egy kellően nagy mintán elemezve, ha pedig állandó adottság a rossz internet kapcsolat, akkor ez bizony ugyanúgy hozzá fog tartozni a te „személyes” várható értékeidhez, mint az hogy, százból kilencven, vagy csak negyven tanknak ismered-e a gyenge pontjait, vagy hogy tízből átlagosan egyszer, vagy kilencszer forgatod túl a tankot az ellenféllel szemben állva. Lehet, hogy te rosszul érzed magad attól, hogy ezek miatt egy adott időszakban pár tizeddel rosszabb a győzelmi arányod (vagy arányaiban bármely más statisztikád), mint az egyébként lenne, de a nagy számok törvénye, ismételten, nem a farok méregetésről szól. 

Végül még egyszer: az hogy a te utolsó ezer csatád győzelmi aránya 55%, az matematikailag nem alkalmas annak megjósolására, hogy te a következő csatát, vagy bármely soron következő csatád, vagy azok sorozatát megnyered-e, vagy elveszted, csak annak valószínűségi szintjét mutatja. (Privát véleményem szerint gyakorlatilag ezért felesleges és inkább zavaró, mint hasznos a csata nyerési esélyek bekapcsolása az XVM oldalon.) A várható érték inkább azt vetíti előre, hogy a következő 100 csatádból a megnyert csatáid száma közelíteni fog az ötvenöthöz, és a következő ezer csatádra nézve valószínűleg még inkább közelíteni fog az ötszázötvenhez, és így tovább, most eltekintve attól a lehetőségtől, hogy közben éppen fejlődsz, vagy sclerosis multiplex vagy tudatmódosító szerek hatására folyamatosan leépülsz. A folyomány éppen az, hogy minél kisebb mintát választasz, a torzítás, és a várható eltérés annál nagyobb lehet a tényleges várható értékhez képest. (Ugye értelemszerűen 1 csata esetén a legnagyobb, mert annak a kimenetele a győzelmet nézve csak 100% vagy 0% lehet.)

A ’szopóroller’ matematikája

Vegyünk egy a győzelmi esélyeit nézve 50% várható értékű WoT játékost (az egyszerűség kedvéért tekintsünk el attól, hogy van döntetlen). Ha egy este egy meccset játszik, vagy győz, vagy veszít, 100% vagy 0% (vagy binárisan 1 vagy 0) értéket fog felvenni a napi eredménye. Ha két játékot játszik, akkor négyféle kimenetel lehet (emlékszünk ugye, minden leosztás kimenetele független az előzőtől). 1. Mindkét meccsen győz (100% Gy); 2. Az elsőn nyer a másodikon veszít (50% Gy) 3. Az elsőn veszít, a másodikon nyer (50% Gy, ismét), 4. Mindkét meccsen veszít (0% Gy). Látható hogy négy alkalomból egyszer 100%, kétszer 50%, egyszer pedig 0% eredménnyel zár. Kétszer visszakaptuk a várható értéket, és a nagy átlag is a kiinduló várható értéket mutatja. 

Nézzük meg még azt az esetet, ha valaki 3 csatás estéket játszik (teljes indukció módszerével elmehetünk tetszőleges természetes egész számig, a lényegen nem változtat.)

3 leosztás esetén 8 különböző eredmény születhet a győzelemre nézve (kettő a harmadikon variáció. Várhatóan egy leosztás lesz, amikor mindhárom alkalommal győz (100% Gy), 3 különböző variáció szerint két meccsen győz, egy alkalommal veszít (66,6% Gy), 3 különböző variáció szerint egy meccsen győz, két alkalommal veszít (33,3% Gy), egy alkalommal elveszíti mindhárom meccset (0% Gy). A várható érték még mindig ugyanaz az 50%, de nem meglepő módon mivel páratlan számú meccsről van szó, egyszer sem fogjuk konkrétan visszakapni az 50%-os eredményt, ellenben az esetek 50%-ban ennél jobb, 50%-ában ennél rosszabb eredmény születik. A teljes indukció módszerével elmehetünk tetszőleges természetes egész számig, a minta hasonló lesz. Egy elem, ami közös: a napi leosztások száma csak véges lehet, és ez a véges szám egész biztosan kisebb, mint a nagy számok törvénye alapján a WoT esetében statisztikai elemzések alapján előírt legkisebb szükséges minta (ha emlékszünk még, ez jelenleg játékosok egyedi statisztikájára nézve „egyezményesen” 1000 csata). Minél nagyobb csataszámot játszunk, az esetek, napok többségében annál jobban fogunk közelíteni az 50%-os várható értékünkhöz, de ez a legkisebb mértékben sem véd meg bennünket attól, hogy szélsőséges eredménnyel zárjunk egy napot. Vagy akár a következőt, és a rákövetkezőt, és a rákövetkező n számú napot. Csupán annyit vehetünk biztosra, hogy ha mi valóban 50%-os játékosok vagyunk, akkor az 50%-os naptól azonos mértékben rosszabb és jobb napok azonos eséllyel fordulnak elő, figyelembe véve, hogy az idő a végtelenbe tart… 

A szarkazmust félretéve (még mindig emlékszünk az 1000 csatás minimum szabályra), ha napi 3 csatát játszunk, akkor okkal várhatjuk, hogy egy 334 napos játékciklust nézve, nagyjából ugyanannyi napon lesz 33,3%-os győzelmi arányunk, mint 66,6%. Az már egy másik lapra (és leginkább a pszichológia tárgykörébe) tartozik, hogy az ember már csak úgy működik, hogy a 66,6%-os napokat a saját zsenialitása, a 33,3%-os napokat pedig a szopóroller „javára” írja. 

Folyomány. Sokan nem állítanak fel összeesküvés-elméleteket, miért megy nekik rosszul, csak azt mondják, hogy a győzelem nem rajtuk múlik, hanem a csapat egészén, ezért egy embernek a csatára elenyészően kicsi hatása van. Ezt, ahogy időm engedi, majd igyekszem direkt módon is cáfolni egyszer, de a fentiek alapján talán logikai úton is belátható, hogy a nagy számok törvényének egyik folyománya, hogy ha az egyes egyéni képességeknek nem lenne semminemű hatása a csata kimenetelére, akkor mindenkinek 50%-os WR felé kellene konvergálnia. A fentiek alapján ezzel együtt valóban előfordulhatna, hogy valakinek az utolsó 1000 csatájának az átlaga 46%-ot mutat, de ha ez az ő személyétől független érték lenne, akkor azt kellene látni, hogy tetszőleges következő 1000 csatában el tud érni 54%-ot, és ez a „minta” véletlenszerűen váltakozna, kellően nagy mintán közelítve az 50%-ot. A statisztikák viszont nem ezt mutatják. Hogy a Wotlabs fórumának jelmondatát (’denying stat deniers’) ideferdítsem: a statisztikák cáfolják a statisztikákat cáfolókat. A statisztikák azt mutatják, hogy az 1000 mintás várható értékek jellemzik az egyéneket, és statikusan vagy fejlődési trendek mellett (egyre megy), de alkalmasak az egyén jövőbeni teljesítményének az előrejelzésére.

Mi a helyzet, ha valakinek 60% a várható értéke van a győzelemre?

Vegyük a három csatás sorozatokat. Az egyes napoknak most is nyolcféle kimenetele van, ami változik, hogy most az egyes győzelmek nem 50%, hanem 60%-os valószínűséggel következnek be. Hogy is néz ez ki?

Három győzelem ugye egyféleképpen áll elő, minden egyes győzelem nyerési esélye 60% (a vereségé pedig értelemszerűen 40%), tehát annak a valószínűsége, hogy egy három csatás napot 100%-kal zárjunk 1x(0,6x0,6x,06)=21,6%. A két győzelem egy vereség háromféle képpen áll elő, tehát most annak az esélye, hogy 66%-on zárjunk egy napot, 3x(0,6x0,6x0,4)=43,2%, míg annak az esélye, hogy 33%-on zárjunk 3x(0,6x0,4x0,4)=28.8%, és végül a teljesen vesztes, nulla százalékos nap esélye 1x(0,4x0,4x0,4)=6,4%. Látható, hogy 21,6+43,2+28,8+6,4=100.

Ez azt jelenti, hogy ha 1000 napot játszunk (összesen 3000 meccset), akkor a statisztikai előrejelzés azt mondja, hogy nagyjából 216 napon mindhárom meccsünket meg fogjuk nyerni, várhatóan 432 napon 66,6%-kal zárunk, kb. 288 napon 33,3%-kal zárunk, és végül 64 napon minden meccset elvesztünk. A totál nyert meccsek aránya 1000 nap (3000 meccs) átlagában 60% körül lesz, a 3000 meccsből nagyjából 1800 győzelemmel zárul.

Mit mutatnak a fentiek? Sem a nagyszámok törvénye, sem a statisztikai előrejelzés, „se az FBI, se a NASA, se a pláza, se az Isten háza, nem tud nyújtani menedéket, ha neked szánják a lövedéket,” (Tankcsapda: Agyarország) és lesznek keményen bukó napjaid hiába vagy 60%-os játékos. DE! A statisztikai predikció azt mondja, hogy még mindig gyakrabban lesznek nyerési szériáid, mint vesztes szériáid.

Ismét: teljes indukcióval bármeddig el lehet menni, az eredmény a jellegét tekintve mindig ugyan ez lesz. Csak érdekességképpen, egy szolóban játszó 60%-os játékos számára, az hogy 10 meccses nyerő szériája legyen, elvileg (1/(0,6ˆ10))x10, azaz nagyjából 1653 csatánként teljesen rendben lévő esemény, de (1/(0,4ˆ10))x10, azaz nagyjából 95.367 csatánként egy 10 csatás vesztes sorozaton sem lehet csodálkozni. De ez a valóságban ugyanúgy bekövetkezhet a kétezredik csatájaként, mint a százötvenezredikre… Emlékszünk? Minden következő leosztás független esemény… és még 3PO-nak sem volt általában igaza…

https://www.youtube.com/watch?v=uTp8mKFxmbg

Természetesen, ha valaki 50% alatti játékos, akkor szomorú módon, de törvényszerűen abban is meg fog nyilvánulni, hogy gyakrabban (és akár hosszabb) bukó sorozatokkal fog szembesülni, mint nyertes szériákkal.

Végezetül mi az egész fenti okfejtés rákfenéje? Hát egyebek mellett az (a többire pedig biztos lesz, aki ki fog térni), hogy vajon az a bizonyos „egyezményes” 1000 csatás minta valóban elég nagy-e? Hát valószínű, hogy nem, de ettől még ad1 jó közelítésre alkalmas, ad2 hiába emelnénk tízezerre a kívánt mintát, egyfelől sokaknak nincs ennyi csatája, vagy nagyon hosszú idő alatt játszanak ennyi csatát, és itt jön be a képbe, hogy minél inkább elnyújtjuk a vizsgált időintervallumot, annál kevésbé alkalmas a statikus megközelítés az előrejelzése. Idő közben fejlődünk, verziók jönnek-mennek, változik a meta-játék környezete stb. Elégedjünk meg azzal, (legalább is ezen cikk keretein belül egyelőre), hogy 1000 csata már elég jó közelítésnek számít.